Ile wynoszą wartości a i b w równaniu 5 - 2 * b * (10 + (2 * b + b) * (a * a * a - a * a)) = 610?

równania algebra obliczenia

rozwiązywanie równań krok po kroku wyznaczanie wartości niewiadomych analiza równań kwadratowych

Gość (37.30.*.*)

5 miesięcy temu

Odpowiedź:

Matematyka potrafi czasem zaskoczyć swoim skomplikowanym wyglądem. Równanie, które na pierwszy rzut oka wygląda jak prawdziwy potwór z wieloma nawiasami i potęgami, po bliższym poznaniu okazuje się całkiem logiczną układanką. Dzisiaj weźmiemy na warsztat równanie ~$5 - 2 \cdot b \cdot (10 + (2 \cdot b + b) \cdot (a \cdot a \cdot a - a \cdot a)) = 610~#$ i rozłożymy je na czynniki pierwsze. Dowiesz się, jak je uprościć, czy istnieją dla niego rozwiązania w liczbach całkowitych oraz jak krok po kroku znaleźć konkretne wartości ~$a~#$ i ~$b~#$.

Krok po kroku: upraszczamy skomplikowane równanie

Zanim zaczniemy podstawiać jakiekolwiek liczby, musimy uporządkować ten matematyczny chaos. Spójrzmy na wyjściowe równanie:

~| 5 - 2 \cdot b \cdot (10 + (2 \cdot b + b) \cdot (a \cdot a \cdot a - a \cdot a)) = 610 ~#|

Zacznijmy od uproszczenia wyrażeń wewnątrz nawiasów.

Suma w nawiasie z niewiadomą ~$b~#$:
Wyrażenie ~$2 \cdot b + b~#$ to po prostu ~$3b~#$.
Iloczyn i różnica z niewiadomą ~$a~#$:
Wyrażenie ~$a \cdot a \cdot a - a \cdot a~#$ możemy zapisać za pomocą potęg jako ~$a^3 - a^2~#$.

Podstawmy te uproszczenia do naszego głównego równania:

~| 5 - 2b \cdot (10 + 3b \cdot (a^3 - a^2)) = 610 ~#|

Teraz możemy przenieść piątkę z lewej strony na prawą (odejmując ~$5~#$ od obu stron równania):

~| -2b \cdot (10 + 3b(a^3 - a^2)) = 605 ~#|

Dla wygody możemy pomnożyć całe równanie przez ~$-1~#$, aby pozbyć się minusa z przodu:

~| 2b \cdot (10 + 3b(a^3 - a^2)) = -605 ~#|

W ten sposób otrzymaliśmy znacznie prostszą postać, która pozwoli nam na dalszą analizę.

Analiza liczb całkowitych: dlaczego nie ma tu prostych rozwiązań?

Często w tego typu zadaniach szuka się rozwiązań w liczbach całkowitych (czyli np. ~$-2, -1, 0, 1, 2...~#$). Przyjrzyjmy się jednak uważnie naszemu uproszczonemu równaniu:

~| 2b \cdot (10 + 3b(a^3 - a^2)) = -605 ~#|

Po lewej stronie mamy iloczyn, w którym jednym z czynników jest ~$2b~#$. Jeśli założymy, że ~$b~#$ jest liczbą całkowitą, to wyrażenie ~$2b~#$ zawsze będzie liczbą parzystą.

Mnożąc liczbę parzystą przez dowolną inną liczbę całkowitą (wyrażenie w nawiasie również byłoby całkowite, gdyby ~$a~#$ i ~$b~#$ były całkowite), zawsze otrzymamy wynik parzysty.

Tymczasem po prawej stronie równania stoi liczba ~$-605~#$, która jest liczbą nieparzystą.

Liczba parzysta nigdy nie może być równa liczbie nieparzystej! To oznacza, że równanie to nie posiada żadnych rozwiązań w liczbach całkowitych.

Szukamy rozwiązań w liczbach rzeczywistych

Skoro nie ma rozwiązań całkowitych, musimy wejść w świat liczb rzeczywistych (ułamków i liczb dziesiętnych). Ponieważ mamy jedno równanie z dwiema niewiadomymi (~$a~#$ oraz ~$b~#$), istnieje nieskończenie wiele par liczb, które spełniają to równanie.

Możemy jednak znaleźć bardzo eleganckie i proste rozwiązania, przyjmując konkretne wartości dla jednej ze zmiennych.

Przypadek szczególny: gdy a wynosi 0 lub 1

Najłatwiej rozwiązać to równanie, eliminując skomplikowany człon z niewiadomą ~$a~#$. Zauważ, że jeśli podstawimy ~$a = 0~#$ lub ~$a = 1~#$, to wyrażenie ~$a^3 - a^2~#$ wyzeruje się:

Dla ~$a = 0~#$: ~$0^3 - 0^2 = 0~#$
Dla ~$a = 1~#$: ~$1^3 - 1^2 = 0~#$

Wstawmy tę zerową wartość do naszego równania:

~| 2b \cdot (10 + 3b \cdot 0) = -605 ~#|
~| 2b \cdot 10 = -605 ~#|
~| 20b = -605 ~#|

Teraz wystarczy podzielić obie strony przez ~$20~#$:

~| b = \frac{-605}{20} = -30.25 ~#|

W ten sposób otrzymujemy dwie bardzo ładne, konkretne pary rozwiązań:

~$a = 0~#$ oraz ~$b = -30,25~#$
~$a = 1~#$ oraz ~$b = -30,25~#$

Ogólny wzór na b w zależności od a

Jeśli chcesz poznać inne rozwiązania, możemy potraktować nasze równanie jako równanie kwadratowe względem zmiennej ~$b~#$. Wymnóżmy nawias w naszym uproszczonym równaniu:

~| 20b + 6b^2(a^3 - a^2) = -605 ~#|

Uporządkujmy je do klasycznej postaci równania kwadratowego (~$Ax^2 + Bx + C = 0~#$):

~| [6(a^3 - a^2)] \cdot b^2 + 20 \cdot b + 605 = 0 ~#|

Aby to równanie miało rozwiązania rzeczywiste, wyróżnik równania kwadratowego (popularna delta ~$\Delta~#$) musi być większy lub równy zero:

~| \Delta = 20^2 - 4 \cdot [6(a^3 - a^2)] \cdot 605 \ge 0 ~#|
~| \Delta = 400 - 14520(a^3 - a^2) \ge 0 ~#|

Oznacza to, że rozwiązania rzeczywiste dla ~$b~#$ istnieją dla każdego ~$a~#$, które spełnia warunek:

~| a^3 - a^2 \le \frac{10}{363} \approx 0.0275 ~#|

Dla każdego takiego ~$a~#$ (różnego od ~$0~#$ i ~$1~#$) wartość ~$b~#$ możesz obliczyć ze wzoru:

~| b = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 14520(a^3 - a^2)}}{12(a^3 - a^2)} ~#|

Podsumowanie wyników

Równanie to nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych ze względu na sprzeczność parzystości stron. Posiada jednak nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach rzeczywistych. Najprostsze i najbardziej przejrzyste z nich to:

~$a = 0~#$ oraz ~$b = -30,25~#$
~$a = 1~#$ oraz ~$b = -30,25~#$

Jakie masz pytanie?