Matematyka potrafi czasem zaskoczyć swoim skomplikowanym wyglądem. Równanie, które na pierwszy rzut oka wygląda jak prawdziwy potwór z wieloma nawiasami i potęgami, po bliższym poznaniu okazuje się całkiem logiczną układanką. Dzisiaj weźmiemy na warsztat równanie $5 - 2 \cdot b \cdot (10 + (2 \cdot b + b) \cdot (a \cdot a \cdot a - a \cdot a)) = 610$ i rozłożymy je na czynniki pierwsze. Dowiesz się, jak je uprościć, czy istnieją dla niego rozwiązania w liczbach całkowitych oraz jak krok po kroku znaleźć konkretne wartości $a$ i $b$.

Krok po kroku: upraszczamy skomplikowane równanie

Zanim zaczniemy podstawiać jakiekolwiek liczby, musimy uporządkować ten matematyczny chaos. Spójrzmy na wyjściowe równanie:

$$5 - 2 \cdot b \cdot (10 + (2 \cdot b + b) \cdot (a \cdot a \cdot a - a \cdot a)) = 610$$

Zacznijmy od uproszczenia wyrażeń wewnątrz nawiasów.

1. Suma w nawiasie z niewiadomą $b$:
   Wyrażenie $2 \cdot b + b$ to po prostu $3b$.

2. Iloczyn i różnica z niewiadomą $a$:
   Wyrażenie $a \cdot a \cdot a - a \cdot a$ możemy zapisać za pomocą potęg jako $a^3 - a^2$.

Podstawmy te uproszczenia do naszego głównego równania:

$$5 - 2b \cdot (10 + 3b \cdot (a^3 - a^2)) = 610$$

Teraz możemy przenieść piątkę z lewej strony na prawą (odejmując $5$ od obu stron równania):

$$-2b \cdot (10 + 3b(a^3 - a^2)) = 605$$

Dla wygody możemy pomnożyć całe równanie przez $-1$, aby pozbyć się minusa z przodu:

$$2b \cdot (10 + 3b(a^3 - a^2)) = -605$$

W ten sposób otrzymaliśmy znacznie prostszą postać, która pozwoli nam na dalszą analizę.

Analiza liczb całkowitych: dlaczego nie ma tu prostych rozwiązań?

Często w tego typu zadaniach szuka się rozwiązań w liczbach całkowitych (czyli np. $-2, -1, 0, 1, 2...$). Przyjrzyjmy się jednak uważnie naszemu uproszczonemu równaniu:

$$2b \cdot (10 + 3b(a^3 - a^2)) = -605$$

Po lewej stronie mamy iloczyn, w którym jednym z czynników jest $2b$. Jeśli założymy, że $b$ jest liczbą całkowitą, to wyrażenie $2b$ zawsze będzie liczbą parzystą.

Mnożąc liczbę parzystą przez dowolną inną liczbę całkowitą (wyrażenie w nawiasie również byłoby całkowite, gdyby $a$ i $b$ były całkowite), zawsze otrzymamy wynik parzysty.

Tymczasem po prawej stronie równania stoi liczba $-605$, która jest liczbą nieparzystą.

Liczba parzysta nigdy nie może być równa liczbie nieparzystej! To oznacza, że równanie to nie posiada żadnych rozwiązań w liczbach całkowitych.

Szukamy rozwiązań w liczbach rzeczywistych

Skoro nie ma rozwiązań całkowitych, musimy wejść w świat liczb rzeczywistych (ułamków i liczb dziesiętnych). Ponieważ mamy jedno równanie z dwiema niewiadomymi ($a$ oraz $b$), istnieje nieskończenie wiele par liczb, które spełniają to równanie.

Możemy jednak znaleźć bardzo eleganckie i proste rozwiązania, przyjmując konkretne wartości dla jednej ze zmiennych.

Przypadek szczególny: gdy a wynosi 0 lub 1

Najłatwiej rozwiązać to równanie, eliminując skomplikowany człon z niewiadomą $a$. Zauważ, że jeśli podstawimy $a = 0$ lub $a = 1$, to wyrażenie $a^3 - a^2$ wyzeruje się:

• Dla $a = 0$: $0^3 - 0^2 = 0$
• Dla $a = 1$: $1^3 - 1^2 = 0$

Wstawmy tę zerową wartość do naszego równania:

$$2b \cdot (10 + 3b \cdot 0) = -605$$
$$2b \cdot 10 = -605$$
$$20b = -605$$

Teraz wystarczy podzielić obie strony przez $20$:

$$b = \frac{-605}{20} = -30.25$$

W ten sposób otrzymujemy dwie bardzo ładne, konkretne pary rozwiązań:

1. $a = 0$ oraz $b = -30,25$
2. $a = 1$ oraz $b = -30,25$

Ogólny wzór na b w zależności od a

Jeśli chcesz poznać inne rozwiązania, możemy potraktować nasze równanie jako równanie kwadratowe względem zmiennej $b$. Wymnóżmy nawias w naszym uproszczonym równaniu:

$$20b + 6b^2(a^3 - a^2) = -605$$

Uporządkujmy je do klasycznej postaci równania kwadratowego ($Ax^2 + Bx + C = 0$):

$$[6(a^3 - a^2)] \cdot b^2 + 20 \cdot b + 605 = 0$$

Aby to równanie miało rozwiązania rzeczywiste, wyróżnik równania kwadratowego (popularna delta $\Delta$) musi być większy lub równy zero:

$$\Delta = 20^2 - 4 \cdot [6(a^3 - a^2)] \cdot 605 \ge 0$$
$$\Delta = 400 - 14520(a^3 - a^2) \ge 0$$

Oznacza to, że rozwiązania rzeczywiste dla $b$ istnieją dla każdego $a$, które spełnia warunek:

$$a^3 - a^2 \le \frac{10}{363} \approx 0.0275$$

Dla każdego takiego $a$ (różnego od $0$ i $1$) wartość $b$ możesz obliczyć ze wzoru:

$$b = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 14520(a^3 - a^2)}}{12(a^3 - a^2)}$$

Podsumowanie wyników

Równanie to nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych ze względu na sprzeczność parzystości stron. Posiada jednak nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach rzeczywistych. Najprostsze i najbardziej przejrzyste z nich to:

• $a = 0$ oraz $b = -30,25$
• $a = 1$ oraz $b = -30,25$