Ile wynosi wartość a w równaniu 10 + 2 * (a * a * a - a * a) = 210?

równania algebra obliczenia

jak rozwiązać równanie obliczanie wartości niewiadomej zadania z wielomianami

Gość (37.30.*.*)

5 miesięcy temu

Odpowiedź:

Rozwiązywanie równań matematycznych bywa czasem jak układanie puzzli – na początku widzimy skomplikowany obrazek, ale kiedy zaczniemy układać elementy krok po kroku, wszystko nagle staje się jasne i logiczne. Dzisiaj przyjrzymy się bliżej równaniu, które na pierwszy rzut oka może wydawać się nieco skomplikowane ze względu na obecność trzeciej potęgi. Mowa o równaniu:

~| 10 + 2 \cdot (a^3 - a^2) = 210 ~#|

Choć wygląda ono groźnie, jego rozwiązanie jest prostsze, niż mogłoby się wydawać. Rozbierzmy je na czynniki pierwsze i przejdźmy przez cały proces krok po kroku!

Krok po kroku: jak rozwiązać to równanie?

Aby znaleźć wartość niewiadomej ~$a~#$, musimy stopniowo upraszczać nasze równanie, dążąc do wyznaczenia samej zmiennej. Zaczynamy od wyjściowego zapisu:

~| 10 + 2 \cdot (a^3 - a^2) = 210 ~#|

Krok 1: Pozbywamy się wyrazu wolnego

W pierwszej kolejności chcemy odizolować wyrażenie z nawiasem. Przenosimy liczbę 10 na prawą stronę równania (pamiętając o zmianie znaku na przeciwny) lub po prostu odejmujemy 10 od obu stron równania:

~| 2 \cdot (a^3 - a^2) = 210 - 10 ~#|
~| 2 \cdot (a^3 - a^2) = 200 ~#|

Krok 2: Dzielenie przez współczynnik

Teraz przeszkadza nam dwójka stojąca przed nawiasem. Aby się jej pozbyć, dzielimy obie strony równania przez 2:

~| a^3 - a^2 = 100 ~#|

W tym momencie nasze równanie wygląda już znacznie przyjaźniej! Otrzymaliśmy równanie stopnia trzeciego (wielomianowe).

Krok 3: Szukanie rozwiązania (metoda prób lub rozkładu)

Przekształćmy równanie do postaci ogólnej, przenosząc 100 na lewą stronę:

~| a^3 - a^2 - 100 = 0 ~#|

Szukanie pierwiastków takiego równania warto zacząć od sprawdzenia dzielników wyrazu wolnego (czyli liczby 100). Dzielnikami liczby 100 są m.in. ~$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10...~#$

Najwygodniej jest jednak wrócić na chwilę do postaci ~$a^3 - a^2 = 100~#$ i wyłączyć ~$a^2~#$ przed nawias:

~| a^2 \cdot (a - 1) = 100 ~#|

Szukamy zatem takiej liczby, której kwadrat pomnożony przez tę liczbę pomniejszoną o 1 da nam dokładnie 100. Przetestujmy kilka łatwych liczb:

Dla ~$a = 4~#$: ~$4^2 \cdot (4 - 1) = 16 \cdot 3 = 48~#$ (za mało)
Dla ~$a = 5~#$: ~$5^2 \cdot (5 - 1) = 25 \cdot 4 = 100~#$ (idealnie!)

W ten sposób znaleźliśmy pierwsze, rzeczywiste rozwiązanie: ~$a = 5~#$.

Czy istnieją inne rozwiązania?

W matematyce zawsze warto upewnić się, czy znalezione rozwiązanie jest jedynym możliwym. Skoro mamy do czynienia z równaniem trzeciego stopnia, teoretycznie możemy mieć do czynienia z maksymalnie trzema rozwiązaniami.

Aby to sprawdzić, możemy podzielić nasz wielomian ~$a^3 - a^2 - 100~#$ przez dwumian ~$(a - 5)~#$. Po wykonaniu dzielenia (np. schematem Hornera lub tradycyjnie) otrzymujemy:

~| (a - 5)(a^2 + 4a + 20) = 0 ~#|

Teraz musimy sprawdzić, czy drugie wyrażenie, czyli równanie kwadratowe ~$a^2 + 4a + 20 = 0~#$, ma jakieś rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Obliczmy wyróżnik równania kwadratowego (słynną deltę ~$\Delta~#$):

~| \Delta = b^2 - 4ac ~#|
~| \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 ~#|
~| \Delta = 16 - 80 = -64 ~#|

Ponieważ delta jest ujemna (~$\Delta < 0~#$), równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Oznacza to, że jedynym rzeczywistym rozwiązaniem naszego początkowego równania jest właśnie liczba 5.

Ciekawostka dla dociekliwych: liczby zespolone

Jeśli interesujesz się wyższą matematyką i znasz pojęcie liczb zespolonych, ujemna delta nie oznacza końca zabawy! W zbiorze liczb zespolonych istnieją jeszcze dwa dodatkowe rozwiązania tego równania:
~| a = -2 + 4i ~#|
~| a = -2 - 4i ~#|
Gdzie ~$i~#$ to jednostka urojona (~$i^2 = -1~#$). Jednak w klasycznej szkolnej matematyce skupiamy się wyłącznie na liczbach rzeczywistych.

Podsumowanie i wynik

Po przejściu przez wszystkie kroki i dokładnym przeanalizowaniu równania, możemy z pełną pewnością podać ostateczny wynik.

Wartość rzeczywista ~$a~#$ w równaniu wynosi:
~$a = 5~#$

To świetny przykład na to, jak z pozoru skomplikowane zadanie można szybko i bezboleśnie rozwiązać za pomocą podstawowych reguł algebraicznych.

Jakie masz pytanie?