Ile wynosi wartość a w równaniu 10 + 2 * (a * a * a - a * a) = 210?

równania algebra obliczenia

jak rozwiązać równanie obliczanie wartości niewiadomej zadania z wielomianami

Gość (37.30.*.*)

19 godzin temu

Odpowiedź:

Rozwiązywanie równań matematycznych bywa czasem jak układanie puzzli – na początku widzimy skomplikowany obrazek, ale kiedy zaczniemy układać elementy krok po kroku, wszystko nagle staje się jasne i logiczne. Dzisiaj przyjrzymy się bliżej równaniu, które na pierwszy rzut oka może wydawać się nieco skomplikowane ze względu na obecność trzeciej potęgi. Mowa o równaniu:

$$10 + 2 \cdot (a^3 - a^2) = 210$$

Choć wygląda ono groźnie, jego rozwiązanie jest prostsze, niż mogłoby się wydawać. Rozbierzmy je na czynniki pierwsze i przejdźmy przez cały proces krok po kroku!

Krok po kroku: jak rozwiązać to równanie?

Aby znaleźć wartość niewiadomej $a$, musimy stopniowo upraszczać nasze równanie, dążąc do wyznaczenia samej zmiennej. Zaczynamy od wyjściowego zapisu:

$$10 + 2 \cdot (a^3 - a^2) = 210$$

Krok 1: Pozbywamy się wyrazu wolnego

W pierwszej kolejności chcemy odizolować wyrażenie z nawiasem. Przenosimy liczbę 10 na prawą stronę równania (pamiętając o zmianie znaku na przeciwny) lub po prostu odejmujemy 10 od obu stron równania:

$$2 \cdot (a^3 - a^2) = 210 - 10$$
$$2 \cdot (a^3 - a^2) = 200$$

Krok 2: Dzielenie przez współczynnik

Teraz przeszkadza nam dwójka stojąca przed nawiasem. Aby się jej pozbyć, dzielimy obie strony równania przez 2:

$$a^3 - a^2 = 100$$

W tym momencie nasze równanie wygląda już znacznie przyjaźniej! Otrzymaliśmy równanie stopnia trzeciego (wielomianowe).

Krok 3: Szukanie rozwiązania (metoda prób lub rozkładu)

Przekształćmy równanie do postaci ogólnej, przenosząc 100 na lewą stronę:

$$a^3 - a^2 - 100 = 0$$

Szukanie pierwiastków takiego równania warto zacząć od sprawdzenia dzielników wyrazu wolnego (czyli liczby 100). Dzielnikami liczby 100 są m.in. $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10...$

Najwygodniej jest jednak wrócić na chwilę do postaci $a^3 - a^2 = 100$ i wyłączyć $a^2$ przed nawias:

$$a^2 \cdot (a - 1) = 100$$

Szukamy zatem takiej liczby, której kwadrat pomnożony przez tę liczbę pomniejszoną o 1 da nam dokładnie 100. Przetestujmy kilka łatwych liczb:

Dla $a = 4$: $4^2 \cdot (4 - 1) = 16 \cdot 3 = 48$ (za mało)
Dla $a = 5$: $5^2 \cdot (5 - 1) = 25 \cdot 4 = 100$ (idealnie!)

W ten sposób znaleźliśmy pierwsze, rzeczywiste rozwiązanie: $a = 5$.

Czy istnieją inne rozwiązania?

W matematyce zawsze warto upewnić się, czy znalezione rozwiązanie jest jedynym możliwym. Skoro mamy do czynienia z równaniem trzeciego stopnia, teoretycznie możemy mieć do czynienia z maksymalnie trzema rozwiązaniami.

Aby to sprawdzić, możemy podzielić nasz wielomian $a^3 - a^2 - 100$ przez dwumian $(a - 5)$. Po wykonaniu dzielenia (np. schematem Hornera lub tradycyjnie) otrzymujemy:

$$(a - 5)(a^2 + 4a + 20) = 0$$

Teraz musimy sprawdzić, czy drugie wyrażenie, czyli równanie kwadratowe $a^2 + 4a + 20 = 0$, ma jakieś rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Obliczmy wyróżnik równania kwadratowego (słynną deltę $\Delta$):

$$\Delta = b^2 - 4ac$$
$$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20$$
$$\Delta = 16 - 80 = -64$$

Ponieważ delta jest ujemna ($\Delta < 0$), równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Oznacza to, że jedynym rzeczywistym rozwiązaniem naszego początkowego równania jest właśnie liczba 5.

Ciekawostka dla dociekliwych: liczby zespolone

Jeśli interesujesz się wyższą matematyką i znasz pojęcie liczb zespolonych, ujemna delta nie oznacza końca zabawy! W zbiorze liczb zespolonych istnieją jeszcze dwa dodatkowe rozwiązania tego równania:
$$a = -2 + 4i$$
$$a = -2 - 4i$$
Gdzie $i$ to jednostka urojona ($i^2 = -1$). Jednak w klasycznej szkolnej matematyce skupiamy się wyłącznie na liczbach rzeczywistych.

Podsumowanie i wynik

Po przejściu przez wszystkie kroki i dokładnym przeanalizowaniu równania, możemy z pełną pewnością podać ostateczny wynik.

Wartość rzeczywista $a$ w równaniu wynosi:
$a = 5$

To świetny przykład na to, jak z pozoru skomplikowane zadanie można szybko i bezboleśnie rozwiązać za pomocą podstawowych reguł algebraicznych.

Jakie masz pytanie?