Ojciec Jana jest 2,5 raza starszy od swojego syna Karola, który jest dwa razy młodszy od Jana, dwa razy starszy od swojej siostry Pauliny oraz o 3 lata starszy niż wiek jego siostry Matyldy podzielony przez 1,5. Matylda jest o dokładnie 5 lat młodsza od swojej siostry Anety i jednocześnie młodsza od Pauliny. Wiedząc, że Jan jest najstarszy, Aneta nie jest najmłodsza, nikt nie ma 8 lat, a wiek Jana wyraża się liczbą parzystą – ile lat ma każde z nich?

zagadki logiczne łamigłówki zadania tekstowe

zagadki logiczne matematyka rozwiązywanie zadań tekstowych łamigłówki z wiekiem

Gość (37.30.*.*)

5 miesięcy temu

Odpowiedź:

Rozwiązywanie zagadek logicznych to świetny sposób na trening szarych komórek i sprawdzenie swoich umiejętności analitycznych. Choć na pierwszy rzut oka ta łamigłówka może wydawać się skomplikowana ze względu na dużą liczbę bohaterów i zależności wiekowych, kluczem do sukcesu jest przełożenie tekstu na proste równania matematyczne. Krok po kroku rozbijemy tę zagadkę na czynniki pierwsze, aby dowiedzieć się, ile dokładnie lat ma każdy z bohaterów.

Zapisujemy dane, czyli matematyczny przekład łamigłówki

Aby ułatwić sobie pracę, przypiszmy każdemu z bohaterów odpowiednią literę oznaczającą jego wiek:

O – wiek ojca
J – wiek Jana
K – wiek Karola
P – wiek Pauliny
M – wiek Matyldy
A – wiek Anety

Teraz przeanalizujmy treść zadania i zapiszmy relacje między bohaterami w postaci równań:

Ojciec jest 2,5 raza starszy od Karola:
~$O = 2,5 \cdot K~#$
Karol jest dwa razy młodszy od Jana (co oznacza, że Jan jest dwa razy starszy od Karola):
~$J = 2 \cdot K~#$
Karol jest dwa razy starszy od Pauliny:
~$K = 2 \cdot P \implies P = 0,5 \cdot K~#$
Karol jest o 3 lata starszy niż wiek Matyldy podzielony przez 1,5:
~$K = \frac{M}{1,5} + 3~#$
Matylda jest o dokładnie 5 lat młodsza od Anety:
~$M = A - 5 \implies A = M + 5~#$

Narzucenie ograniczeń i eliminacja niewiadomych

Zwróćmy uwagę na kolejne ważne wskazówki z treści zadania:

Matylda jest młodsza od Pauliny (~$M < P~#$).
Jan jest najstarszy z rodzeństwa.
Aneta nie jest najmłodsza.
Nikt nie ma 8 lat.
Wiek Jana wyraża się liczbą parzystą.

Przekształćmy równanie opisujące wiek Matyldy (punkt 4), aby wyrazić go za pomocą wieku Karola (~$K~#$):
~$K - 3 = \frac{M}{1,5}~#$
~$M = 1,5 \cdot (K - 3)~#$
~$M = 1,5 \cdot K - 4,5~#$

Skoro Matylda jest młodsza od Pauliny (~$M < P~#$), możemy podstawić nasze wzory oparte na wieku Karola (~$K~#$):
~$1,5 \cdot K - 4,5 < 0,5 \cdot K~#$

Odejmujemy ~$0,5 \cdot K~#$ od obu stron równania:
~$1 \cdot K - 4,5 < 0~#$
~$K < 4,5~#$

Wiek Matyldy nie może być wartością ujemną (~$M \ge 0~#$), co daje nam kolejne ograniczenie:
~$1,5 \cdot K - 4,5 \ge 0~#$
~$1,5 \cdot K \ge 4,5~#$
~$K \ge 3~#$

Łącząc oba te warunki, otrzymujemy bardzo precyzyjny przedział dla wieku Karola:
~$3 \le K < 4,5~#$

Analiza wieku rodzeństwa i ostateczny wynik

Wiemy, że wiek Jana (~$J~#$) wyraża się parzystą liczbą całkowitą. Ponieważ ~$J = 2 \cdot K~#$, a Karol (~$K~#$) mieści się w przedziale od 3 (włącznie) do 4,5 (wyłącznie), wiek Jana musi mieścić się w przedziale:
~$2 \cdot 3 \le J < 2 \cdot 4,5~#$
~$6 \le J < 9~#$

Jedynymi parzystymi liczbami całkowitymi w tym przedziale są 6 oraz 8.

W treści zadania pojawia się jednak kluczowy warunek: nikt nie ma 8 lat. To automatycznie wyklucza liczbę 8 jako wiek Jana.

Jedyną możliwą i poprawną wartością dla wieku Jana jest zatem 6 lat.

Wyliczamy wiek pozostałych osób

Skoro znamy już wiek Jana (~$J = 6~#$), możemy bez problemu obliczyć wiek całej reszty rodziny:

Jan (J): 6 lat
Karol (K): ~$6 / 2 =~#$ 3 lata
Ojciec (O): ~$2,5 \cdot 3 =~#$ 7,5 roku (czyli 7 lat i 6 miesięcy)
Paulina (P): ~$3 / 2 =~#$ 1,5 roku (czyli rok i 6 miesięcy)
Matylda (M): ~$1,5 \cdot (3 - 3) =~#$ 0 lat (Matylda to noworodek, który dopiero co przyszedł na świat!)
Aneta (A): ~$0 + 5 =~#$ 5 lat

Sprawdzenie wszystkich warunków logicznych

Dla pewności zweryfikujmy, czy otrzymane wyniki zgadzają się z każdym z założeń w treści zadania:

Ojciec (7,5) jest 2,5 raza starszy od Karola (3) – Zgadza się (~$3 \cdot 2,5 = 7,5~#$).
Karol (3) jest dwa razy młodszy od Jana (6) – Zgadza się.
Karol (3) jest dwa razy starszy od Pauliny (1,5) – Zgadza się.
Karol (3) jest o 3 lata starszy niż wiek Matyldy (0) podzielony przez 1,5 – Zgadza się (~$0 / 1,5 + 3 = 3~#$).
Matylda (0) jest o 5 lat młodsza od Anety (5) – Zgadza się.
Matylda (0) jest młodsza od Pauliny (1,5) – Zgadza się.
Jan (6) jest najstarszy z rodzeństwa – Zgadza się (rodzeństwo ma kolejno: 6, 5, 3, 1,5 oraz 0 lat).
Aneta (5) nie jest najmłodsza – Zgadza się (najmłodsza jest Matylda, która ma 0 lat).
Nikt nie ma 8 lat – Zgadza się (wieki to: 7,5; 6; 5; 3; 1,5; 0).
Wiek Jana wyraża się liczbą parzystą – Zgadza się (6 to liczba parzysta).

Ciekawostka — jak to możliwe, że ojciec ma 7,5 roku?

Rozwiązując zadania matematyczne, czasami trafiamy na wyniki, które w świecie ludzi brzmią dość osobliwie. Ojciec mający 7,5 roku? W świecie człowieka to biologicznie niemożliwe!

Warto jednak pamiętać, że zagadka nie precyzuje, jakiego gatunku dotyczy. Jeśli przełożymy te dane na świat zwierząt – na przykład psów lub kotów – wiek ojca wynoszący 7,5 roku jest jak najbardziej naturalny i oznacza w pełni dojrzałego osobnika, który bez problemu mógł doczekać się tak licznej gromadki potomstwa. W przypadku czworonogów wiek podawany w ułamkach lat (jak 1,5 roku czy 7,5 roku) jest również standardem.

Jakie masz pytanie?