Suma obecnego wieku trzech braci wynosi dokładnie 50 lat. Kiedy Adam był w wieku, w którym Bartek jest teraz, Cezary był dokładnie o połowę młodszy od Adama. Kiedy z kolei Bartek osiągnie wiek, w którym obecnie jest Adam, Cezary będzie od niego o 10 lat młodszy. Przynajmniej jeden z nich mógłby mieć już prawo jazdy kategorii B. Co ciekawe, najstarszy z braci jest dokładnie o 10 lat starszy od najmłodszego. Ile lat ma każdy z nich?

logika zagadki liczby

zagadki logiczne matematyczne zadania z wieku łamigłówki liczbowe dla dorosłych

Gość (37.30.*.*)

5 miesięcy temu

Odpowiedź:

Zagadki logiczne dotyczące wieku to absolutny klasyk, który potrafi rozgrzać do czerwoności nawet najbardziej tęgie umysły. Choć na pierwszy rzut oka treść tego zadania brzmi jak skomplikowana plątanina przeszłości i przyszłości, kluczem do sukcesu jest przełożenie słów na prosty język matematyki. Przyjrzyjmy się bliżej trzem braciom – Adamowi, Bartkowi i Cezaremu – i rozwiążmy tę zagadkę krok po kroku.

Jak ugryźć zagadkę o wieku braci?

Aby ułatwić sobie zadanie, przypiszmy każdemu z braci zmienną reprezentującą ich obecny wiek:

A – obecny wiek Adama
B – obecny wiek Bartka
C – obecny wiek Cezarego

Teraz przeanalizujemy każdą wskazówkę po kolei, tworząc z nich układ równań.

Krok po kroku: od słów do równań

1. Suma wieku braci

Pierwsza informacja jest niezwykle prosta: suma wieku trzech braci wynosi dokładnie 50 lat. Zapisujemy to jako:
~| A + B + C = 50 ~#|

2. Podróż w przeszłość – kiedy Adam był w wieku Bartka

Kolejna wskazówka brzmi: „Kiedy Adam był w wieku, w którym Bartek jest teraz, Cezary był dokładnie o połowę młodszy od Adama”.
Różnica wieku między Adamem a Bartkiem wynosi ~$A - B~#$ lat. To oznacza, że sytuacja ta miała miejsce dokładnie ~$A - B~#$ lat temu.
W tamtym momencie:

Adam miał tyle lat, ile Bartek ma teraz, czyli B lat.
Cezary miał wtedy: ~$C - (A - B)~#$ lat, co po uproszczeniu daje ~$C - A + B~#$ lat.

Z treści wiemy, że Cezary był wtedy o połowę młodszy od Adama (czyli miał połowę wieku Adama z tamtego momentu, który wynosił ~$B~#$):
~| C - A + B = \frac{B}{2} ~#|

Możemy to równanie uprościć, mnożąc obie strony przez 2:
~| 2C - 2A + 2B = B ~#|
~| 2A - 2C = B ~#|
Dzieląc przez 2, otrzymujemy bardzo elegancką zależność:
~| A - C = \frac{B}{2} ~#|

3. Spojrzenie w przyszłość – kiedy Bartek osiągnie wiek Adama

Następna wskazówka to: „Kiedy z kolei Bartek osiągnie wiek, w którym obecnie jest Adam, Cezary będzie od niego o 10 lat młodszy”.
Bartek osiągnie wiek Adama za ~$A - B~#$ lat.
W tej przyszłości:

Bartek będzie miał A lat.
Cezary będzie miał: ~$C + (A - B)~#$ lat.

Skoro Cezary ma być wtedy o 10 lat młodszy od Bartka (który będzie miał ~$A~#$ lat), zapisujemy równanie:
~| C + A - B = A - 10 ~#|

Odejmując ~$A~#$ od obu stron równania, otrzymujemy:
~| C - B = -10 ~#|
Co po przekształceniu daje nam:
~| B - C = 10 ~#|
To oznacza, że Bartek jest dokładnie o 10 lat starszy od Cezarego!

4. Najstarszy i najmłodszy z braci

Ostatnia ważna wskazówka mówi: „najstarszy z braci jest dokładnie o 10 lat starszy od najmłodszego”.
Z naszych dotychczasowych równań wynika, że Adam jest starszy bądź równy wiekiem Bartkowi (~$A \ge B~#$), a Bartek jest starszy od Cezarego (~$B > C~#$). Najstarszym bratem jest więc Adam, a najmłodszym Cezary. Różnica ich wieku to:
~| A - C = 10 ~#|

Rozwiązanie układu równań

Zbierzmy wszystkie nasze wnioski w jeden przejrzysty układ równań:

~$A + B + C = 50~#$
~$A - C = \frac{B}{2}~#$
~$B - C = 10~#$
~$A - C = 10~#$

Spójrzmy na równania (2) i (4). Oba opisują tę samą wartość (~$A - C~#$). Możemy je do siebie porównać:
~| \frac{B}{2} = 10 ~#|
Mnożąc obustronnie przez 2, otrzymujemy wiek Bartka:
~| B = 20 ~#|
Bartek ma obecnie 20 lat!

Teraz możemy podstawić wiek Bartka do równania (3), aby dowiedzieć się, ile lat ma Cezary:
~| 20 - C = 10 \implies C = 10 ~#|
Cezary ma obecnie 10 lat!

Mając wiek Bartka i Cezarego, możemy łatwo obliczyć wiek Adama, korzystając z równania (4) lub (1):
~| A - 10 = 10 \implies A = 20 ~#|
Adam ma obecnie 20 lat!

Wynik i weryfikacja zagadki

Ostateczne rozwiązanie prezentuje się następująco:

Adam ma 20 lat
Bartek ma 20 lat
Cezary ma 10 lat

Sprawdźmy, czy wszystkie warunki z treści zadania się zgadzają:

Suma wieku: ~$20 + 20 + 10 = 50~#$ lat. (Zgadza się!)
Przeszłość: Kiedy Adam (20) był w wieku Bartka (20) – czyli obecnie (0 lat temu) – Cezary (10) był o połowę młodszy od Adama (20). (Zgadza się!)
Przyszłość: Kiedy Bartek (20) osiągnie obecny wiek Adama (20) – czyli również teraz – Cezary (10) jest o 10 lat młodszy od niego. (Zgadza się!)
Prawo jazdy: „Przynajmniej jeden z nich mógłby mieć już prawo jazdy kategorii B”. W Polsce minimalny wiek do uzyskania prawa jazdy kat. B to 18 lat. Dwóch braci (Adam i Bartek) ma po 20 lat, więc jak najbardziej mogą już legalnie prowadzić samochód. (Zgadza się!)
Różnica wieku najstarszego i najmłodszego: Najstarsi bracia mają po 20 lat, najmłodszy ma 10 lat. Różnica wynosi dokładnie 10 lat. (Zgadza się!)

Ciekawostka o bliźniętach i prawie jazdy

To, co czyni tę zagadkę wyjątkowo sprytną, to fakt, że Adam i Bartek okazali się... bliźniakami! Często podświadomie zakładamy, że trzej bracia muszą być w różnym wieku, co utrudnia rozwiązanie zadania na drodze intuicyjnej. Dopiero chłodna, matematyczna analiza ujawnia ten ciekawy zwrot akcji.

Warto też wspomnieć o prawie jazdy kategorii B w Polsce. Choć standardowo dokument ten można uzyskać po ukończeniu 18. roku życia, to sam kurs i egzamin teoretyczny można rozpocząć już na 3 miesiące przed osiemnastką. Oznacza to, że Adam i Bartek mogą cieszyć się statusem kierowców już od ponad dwóch lat, podczas gdy dziesięcioletni Cezary musi jeszcze sporo poczekać – na ten moment pozostaje mu jedynie jazda na rowerze lub gokartach!

Jakie masz pytanie?