Rozwiązywanie skomplikowanych układów równań potrafi być świetną zabawą, zwłaszcza gdy na pierwszy rzut oka wydają się one niezwykle zagmatwane. Zadanie, w którym musimy obliczyć wartość wyrażenia $a + b + c + d$ na podstawie zestawu pięciu równań, to klasyczny przykład problemu algebraicznego, który wymaga sprytu i systematyczności.

Przyjrzyjmy się bliżej podanym zależnościom:

1. $ab = 10$
2. $bc = 20$
3. $ca = 30$
4. $bd = 40$
5. $ad + c = 60$

Rozwiązanie tego problemu krok po kroku pozwoli nam nie tylko znaleźć szukaną sumę, ale również odkryć pewną bardzo ważną matematyczną ciekawostkę ukrytą w treści tego zadania.

Wyznaczenie wartości zmiennych a, b oraz c

Trzy pierwsze równania tworzą zamknięty układ trzech zmiennych ($a, b, c$). Najprostszym sposobem na ich wyznaczenie jest pomnożenie wszystkich trzech równań stronami:
$$(ab) \cdot (bc) \cdot (ca) = 10 \cdot 20 \cdot 30$$
$$a^2 b^2 c^2 = 6000$$
$$(abc)^2 = 6000$$

Wyciągając pierwiastek kwadratowy z obu stron, otrzymujemy:
$$abc = \pm\sqrt{6000} = \pm 20\sqrt{15}$$

Teraz możemy łatwo wyznaczyć kwadraty poszczególnych zmiennych, dzieląc iloczyn $abc$ przez odpowiednie równania początkowe:

• Aby znaleźć $a^2$, mnożymy $ab$ przez $ca$ i dzielimy przez $bc$:
  $$a^2 = \frac{(ab)(ca)}{bc} = \frac{10 \cdot 30}{20} = 15 \implies a = \pm\sqrt{15}$$
• Aby znaleźć $b^2$, mnożymy $ab$ przez $bc$ i dzielimy przez $ca$:
  $$b^2 = \frac{(ab)(bc)}{ca} = \frac{10 \cdot 20}{30} = \frac{20}{3} \implies b = \pm\sqrt{\frac{20}{3}} = \pm\frac{2\sqrt{15}}{3}$$
• Aby znaleźć $c^2$, mnożymy $bc$ przez $ca$ i dzielimy przez $ab$:
  $$c^2 = \frac{(bc)(ca)}{ab} = \frac{20 \cdot 30}{10} = 60 \implies c = \pm\sqrt{60} = \pm 2\sqrt{15}$$

Analiza znaków zmiennych

Ponieważ iloczyny $ab = 10$, $bc = 20$ oraz $ca = 30$ są liczbami dodatnimi, oznacza to, że zmienne $a, b, c$ muszą mieć ten sam znak. Mamy zatem dwie możliwości: albo wszystkie są dodatnie, albo wszystkie są ujemne.

Wyznaczenie wartości zmiennej d

Do wyznaczenia wartości $d$ wykorzystamy czwarte równanie: $bd = 40$. Ponieważ $bd > 0$, zmienna $d$ musi mieć ten sam znak co $b$ (a więc i ten sam co $a$ i $c$).

Przekształcając równanie, otrzymujemy:
$$d = \frac{40}{b}$$

Podstawmy teraz wyznaczoną wartość $b$:

• Dla wariantu dodatniego:
  $$d = \frac{40}{\frac{2\sqrt{15}}{3}} = \frac{120}{2\sqrt{15}} = \frac{60}{\sqrt{15}} = \frac{60\sqrt{15}}{15} = 4\sqrt{15}$$
• Dla wariantu ujemnego:
  $$d = -4\sqrt{15}$$

Konfrontacja z piątym równaniem i matematyczna niespodzianka

W tym miejscu musimy przyjrzeć się ostatniemu warunkowi podanemu w zadaniu: $ad + c = 60$. Obliczmy najpierw wartość samego iloczynu $ad$:
$$ad = a \cdot d = (\pm\sqrt{15}) \cdot (\pm 4\sqrt{15}) = 4 \cdot 15 = 60$$

Niezależnie od tego, czy wybierzemy wariant dodatni, czy ujemny, iloczyn $ad$ wynosi dokładnie $60$. Podstawiając tę wartość do piątego równania, otrzymujemy:
$$60 + c = 60 \implies c = 0$$

Tutaj pojawia się sprzeczność. Z wcześniejszych obliczeń wiemy, że $c = \pm 2\sqrt{15}$, co jest wartością różną od zera. Gdyby $c = 0$, wówczas iloczyny $bc$ oraz $ca$ również musiałyby wynosić $0$, co przeczy warunkom $bc = 20$ i $ca = 30$.

Układ równań w przedstawionej formie jest matematycznie sprzeczny i nie posiada żadnego rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych ani zespolonych.

Jak rozwiązać to zadanie, jeśli w treści jest błąd?

W zadaniach tego typu bardzo często zdarzają się drobne literówki podczas przepisywania treści (np. w podręcznikach lub arkuszach). Najbardziej prawdopodobnym scenariuszem jest to, że piąte równanie miało postać $ad = 60$ (co, jak wykazaliśmy wyżej, jest w 100% prawdziwe i spójne z pozostałymi równaniami), a dopisek „$+ c$” znalazł się tam przez pomyłkę.

Jeśli pominiemy sprzeczne równanie $ad + c = 60$ i oprzemy się na spójnej części układu, możemy bez problemu obliczyć wartość wyrażenia $a + b + c + d$.

Wariant 1: wszystkie zmienne są dodatnie

Podstawiamy wyznaczone wartości:

• $a = \sqrt{15}$
• $b = \frac{2}{3}\sqrt{15}$
• $c = 2\sqrt{15}$
• $d = 4\sqrt{15}$

Obliczamy sumę:
$$a + b + c + d = \sqrt{15} + \frac{2}{3}\sqrt{15} + 2\sqrt{15} + 4\sqrt{15}$$
$$a + b + c + d = \left(1 + \frac{2}{3} + 2 + 4\right)\sqrt{15}$$
$$a + b + c + d = \left(7 + \frac{2}{3}\right)\sqrt{15} = \frac{23}{3}\sqrt{15}$$

Przybliżona wartość tego wyniku to około $29,69$.

Wariant 2: wszystkie zmienne są ujemne

Podstawiamy wartości z przeciwnym znakiem:

• $a = -\sqrt{15}$
• $b = -\frac{2}{3}\sqrt{15}$
• $c = -2\sqrt{15}$
• $d = -4\sqrt{15}$

Obliczamy sumę:
$$a + b + c + d = -\frac{23}{3}\sqrt{15}$$

Przybliżona wartość tego wyniku to około $-29,69$.

Podsumowanie wyników

Ostateczna odpowiedź zależy od interpretacji intencji autora zadania:

1. Przy dosłownym odczytaniu podanego układu równań: Układ jest sprzeczny, więc wartość wyrażenia nie istnieje, ponieważ nie istnieją liczby spełniające jednocześnie wszystkie pięć warunków.
2. Przy założeniu, że piąte równanie zawiera błąd drukarski (a prawidłowy układ opiera się na pierwszych czterech równaniach): wartość wyrażenia $a + b + c + d$ wynosi $\frac{23}{3}\sqrt{15}$ (ok. $29,69$) lub $-\frac{23}{3}\sqrt{15}$ (ok. $-29,69$).