Ile wynosi wartość wyrażenia a + b + c, jeżeli ab = 10, bc = 20 i ca = 30?

równania algebra obliczenia

rozwiązywanie układów równań obliczanie wartości wyrażenia zadania z niewiadomymi

Gość (37.30.*.*)

5 miesięcy temu

Odpowiedź:

Rozwiązywanie układów równań nieliniowych potrafi być świetną zabawą logiczną. Na pierwszy rzut oka zadanie, w którym musimy obliczyć wartość wyrażenia ~$a + b + c~#$ na podstawie iloczynów par liczb (~$ab = 10~#$, ~$bc = 20~#$, ~$ca = 30~#$), może wydawać się skomplikowane. W końcu mamy do czynienia z trzema niewiadomymi i mnożeniem, co wyklucza proste dodawanie stronami. Istnieje jednak bardzo elegancka metoda, która pozwala rozwikłać tę zagadkę krok po kroku.

Przyjrzyjmy się bliżej tym równaniom i zobaczmy, jak możemy je sprytnie przekształcić, aby znaleźć poszukiwaną sumę.

Jak ugryźć to zadanie krok po kroku

Naszym punktem wyjścia jest następujący układ równań:

~$ab = 10~#$
~$bc = 20~#$
~$ca = 30~#$

Najlepszym sposobem na rozpoczęcie rozwiązywania takiego układu jest pomnożenie wszystkich trzech równań przez siebie. Dlaczego? Ponieważ w ten sposób po lewej stronie otrzymamy kwadraty wszystkich naszych zmiennych.

~| (ab) \cdot (bc) \cdot (ca) = 10 \cdot 20 \cdot 30 ~#|

Po uproszczeniu lewej strony otrzymujemy:

~| a^2 b^2 c^2 = 6000 ~#|

Możemy to zapisać jako:

~| (abc)^2 = 6000 ~#|

Teraz, aby dowiedzieć się, ile wynosi iloczyn wszystkich trzech liczb (~$abc~#$), musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. Pamiętajmy, że pierwiastkowanie kwadratu daje nam dwie możliwości – dodatnią i ujemną:

~| abc = \sqrt{6000} \quad \text{lub} \quad abc = -\sqrt{6000} ~#|

Uprośćmy pierwiastek z 6000. Wiemy, że ~$6000 = 400 \cdot 15~#$, a pierwiastek z 400 to 20. Zatem:

~| abc = 20\sqrt{15} \quad \text{lub} \quad abc = -20\sqrt{15} ~#|

Mając iloczyn ~$abc~#$, możemy bez problemu wyznaczyć wartości poszczególnych zmiennych ~$a~#$, ~$b~#$ oraz ~$c~#$.

Wyznaczanie wartości zmiennych a, b i c

Aby znaleźć poszczególne liczby, wystarczy podzielić ogólny iloczyn ~$abc~#$ przez znane nam iloczyny par z początkowych równań. Rozważmy dwa przypadki.

Przypadek 1: Gdy iloczyn abc jest dodatni (~$abc = 20\sqrt{15}~#$)

Obliczamy ~$a~#$: dzielimy ~$abc~#$ przez ~$bc~#$ (wiemy, że ~$bc = 20~#$):
~| a = \frac{abc}{bc} = \frac{20\sqrt{15}}{20} = \sqrt{15} ~#|
Obliczamy ~$b~#$: dzielimy ~$abc~#$ przez ~$ca~#$ (wiemy, że ~$ca = 30~#$):
~| b = \frac{abc}{ca} = \frac{20\sqrt{15}}{30} = \frac{2}{3}\sqrt{15} ~#|
Obliczamy ~$c~#$: dzielimy ~$abc~#$ przez ~$ab~#$ (wiemy, że ~$ab = 10~#$):
~| c = \frac{abc}{ab} = \frac{20\sqrt{15}}{10} = 2\sqrt{15} ~#|

Wszystkie liczby są dodatnie, co zgadza się z naszymi założeniami (ich iloczyny ~$ab~#$, ~$bc~#$ i ~$ca~#$ również są dodatnie).

Przypadek 2: Gdy iloczyn abc jest ujemny (~$abc = -20\sqrt{15}~#$)

W tym przypadku wykonujemy dokładnie te same działania, ale z minusem przed iloczynem. Otrzymamy wtedy te same wartości, ale z przeciwnymi znakami:

~$a = -\sqrt{15}~#$
~$b = -\frac{2}{3}\sqrt{15}~#$
~$c = -2\sqrt{15}~#$

Ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych daje liczbę dodatnią, ten zestaw również idealnie spełnia warunki początkowe zadania (~$ab = 10~#$, ~$bc = 20~#$, ~$ca = 30~#$).

Dwa możliwe rozwiązania sumy a + b + c

Skoro znamy już wartości ~$a~#$, ~$b~#$ oraz ~$c~#$ dla obu przypadków, możemy przejść do finału i obliczyć wartość wyrażenia ~$a + b + c~#$.

Dla pierwszego przypadku (liczby dodatnie):

~| a + b + c = \sqrt{15} + \frac{2}{3}\sqrt{15} + 2\sqrt{15} ~#|

Aby dodać te ułamki, sprowadźmy je do wspólnego mianownika:

~| a + b + c = \left(1 + \frac{2}{3} + 2\right)\sqrt{15} = \left(3 + \frac{2}{3}\right)\sqrt{15} = \frac{11}{3}\sqrt{15} ~#|

Dla drugiego przypadku (liczby ujemne):

~| a + b + c = -\sqrt{15} - \frac{2}{3}\sqrt{15} - 2\sqrt{15} = -\frac{11}{3}\sqrt{15} ~#|

Wartość wyrażenia ~$a + b + c~#$ wynosi więc ~$\frac{11}{3}\sqrt{15}~#$ lub ~$-\frac{11}{3}\sqrt{15}~#$ (co można również zapisać w skrócie jako ~$\pm\frac{11}{3}\sqrt{15}~#$).

Ciekawostka matematyczna

Tego typu układy równań są ściśle powiązane z geometrią. Gdybyśmy wyobrazili sobie prostopadłościan o krawędziach ~$a~#$, ~$b~#$ i ~$c~#$, to podane w zadaniu wartości ~$ab~#$, ~$bc~#$ i ~$ca~#$ byłyby polami powierzchni jego trzech różnych ścian.

Dzięki metodzie, którą zastosowaliśmy do rozwiązania tego zadania, możemy łatwo obliczyć objętość takiego prostopadłościanu. Objętość to ~$V = a \cdot b \cdot c~#$. Jak wykazaliśmy wyżej, pierwiastek z iloczynu pól powierzchni ścian daje nam dokładnie objętość bryły. W naszym przypadku prostopadłościan o polach ścian 10, 20 i 30 miałby objętość równą dokładnie ~$20\sqrt{15}~#$ jednostek sześciennych. Matematyka potrafi w piękny sposób łączyć czystą algebrę z wyobraźnią przestrzenną.

Jakie masz pytanie?