Ile wynosi wartość wyrażenia a + b + c, jeżeli ab = 10, bc = 20 i ca = 30?

równania algebra obliczenia

rozwiązywanie układów równań obliczanie wartości wyrażenia zadania z niewiadomymi

Gość (37.30.*.*)

19 godzin temu

Odpowiedź:

Rozwiązywanie układów równań nieliniowych potrafi być świetną zabawą logiczną. Na pierwszy rzut oka zadanie, w którym musimy obliczyć wartość wyrażenia $a + b + c$ na podstawie iloczynów par liczb ($ab = 10$, $bc = 20$, $ca = 30$), może wydawać się skomplikowane. W końcu mamy do czynienia z trzema niewiadomymi i mnożeniem, co wyklucza proste dodawanie stronami. Istnieje jednak bardzo elegancka metoda, która pozwala rozwikłać tę zagadkę krok po kroku.

Przyjrzyjmy się bliżej tym równaniom i zobaczmy, jak możemy je sprytnie przekształcić, aby znaleźć poszukiwaną sumę.

Jak ugryźć to zadanie krok po kroku

Naszym punktem wyjścia jest następujący układ równań:

$ab = 10$
$bc = 20$
$ca = 30$

Najlepszym sposobem na rozpoczęcie rozwiązywania takiego układu jest pomnożenie wszystkich trzech równań przez siebie. Dlaczego? Ponieważ w ten sposób po lewej stronie otrzymamy kwadraty wszystkich naszych zmiennych.

$$(ab) \cdot (bc) \cdot (ca) = 10 \cdot 20 \cdot 30$$

Po uproszczeniu lewej strony otrzymujemy:

$$a^2 b^2 c^2 = 6000$$

Możemy to zapisać jako:

$$(abc)^2 = 6000$$

Teraz, aby dowiedzieć się, ile wynosi iloczyn wszystkich trzech liczb ($abc$), musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. Pamiętajmy, że pierwiastkowanie kwadratu daje nam dwie możliwości – dodatnią i ujemną:

$$abc = \sqrt{6000} \quad \text{lub} \quad abc = -\sqrt{6000}$$

Uprośćmy pierwiastek z 6000. Wiemy, że $6000 = 400 \cdot 15$, a pierwiastek z 400 to 20. Zatem:

$$abc = 20\sqrt{15} \quad \text{lub} \quad abc = -20\sqrt{15}$$

Mając iloczyn $abc$, możemy bez problemu wyznaczyć wartości poszczególnych zmiennych $a$, $b$ oraz $c$.

Wyznaczanie wartości zmiennych a, b i c

Aby znaleźć poszczególne liczby, wystarczy podzielić ogólny iloczyn $abc$ przez znane nam iloczyny par z początkowych równań. Rozważmy dwa przypadki.

Przypadek 1: Gdy iloczyn abc jest dodatni ($abc = 20\sqrt{15}$)

Obliczamy $a$: dzielimy $abc$ przez $bc$ (wiemy, że $bc = 20$):
$$a = \frac{abc}{bc} = \frac{20\sqrt{15}}{20} = \sqrt{15}$$
Obliczamy $b$: dzielimy $abc$ przez $ca$ (wiemy, że $ca = 30$):
$$b = \frac{abc}{ca} = \frac{20\sqrt{15}}{30} = \frac{2}{3}\sqrt{15}$$
Obliczamy $c$: dzielimy $abc$ przez $ab$ (wiemy, że $ab = 10$):
$$c = \frac{abc}{ab} = \frac{20\sqrt{15}}{10} = 2\sqrt{15}$$

Wszystkie liczby są dodatnie, co zgadza się z naszymi założeniami (ich iloczyny $ab$, $bc$ i $ca$ również są dodatnie).

Przypadek 2: Gdy iloczyn abc jest ujemny ($abc = -20\sqrt{15}$)

W tym przypadku wykonujemy dokładnie te same działania, ale z minusem przed iloczynem. Otrzymamy wtedy te same wartości, ale z przeciwnymi znakami:

$a = -\sqrt{15}$
$b = -\frac{2}{3}\sqrt{15}$
$c = -2\sqrt{15}$

Ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych daje liczbę dodatnią, ten zestaw również idealnie spełnia warunki początkowe zadania ($ab = 10$, $bc = 20$, $ca = 30$).

Dwa możliwe rozwiązania sumy a + b + c

Skoro znamy już wartości $a$, $b$ oraz $c$ dla obu przypadków, możemy przejść do finału i obliczyć wartość wyrażenia $a + b + c$.

Dla pierwszego przypadku (liczby dodatnie):

$$a + b + c = \sqrt{15} + \frac{2}{3}\sqrt{15} + 2\sqrt{15}$$

Aby dodać te ułamki, sprowadźmy je do wspólnego mianownika:

$$a + b + c = \left(1 + \frac{2}{3} + 2\right)\sqrt{15} = \left(3 + \frac{2}{3}\right)\sqrt{15} = \frac{11}{3}\sqrt{15}$$

Dla drugiego przypadku (liczby ujemne):

$$a + b + c = -\sqrt{15} - \frac{2}{3}\sqrt{15} - 2\sqrt{15} = -\frac{11}{3}\sqrt{15}$$

Wartość wyrażenia $a + b + c$ wynosi więc $\frac{11}{3}\sqrt{15}$ lub $-\frac{11}{3}\sqrt{15}$ (co można również zapisać w skrócie jako $\pm\frac{11}{3}\sqrt{15}$).

Ciekawostka matematyczna

Tego typu układy równań są ściśle powiązane z geometrią. Gdybyśmy wyobrazili sobie prostopadłościan o krawędziach $a$, $b$ i $c$, to podane w zadaniu wartości $ab$, $bc$ i $ca$ byłyby polami powierzchni jego trzech różnych ścian.

Dzięki metodzie, którą zastosowaliśmy do rozwiązania tego zadania, możemy łatwo obliczyć objętość takiego prostopadłościanu. Objętość to $V = a \cdot b \cdot c$. Jak wykazaliśmy wyżej, pierwiastek z iloczynu pól powierzchni ścian daje nam dokładnie objętość bryły. W naszym przypadku prostopadłościan o polach ścian 10, 20 i 30 miałby objętość równą dokładnie $20\sqrt{15}$ jednostek sześciennych. Matematyka potrafi w piękny sposób łączyć czystą algebrę z wyobraźnią przestrzenną.

Jakie masz pytanie?