Jeśli jedna bakteria co sekundę dzieli się na dwie, to ile bakterii uzyskamy po godzinie i jak szybko otrzymalibyśmy taką samą ich liczbę, gdyby na początku były dwie bakterie?

matematyka bakterie wzrost wykładniczy

wzrost wykładniczy bakterii matematyka wzrostu populacji obliczanie podziału komórek

Gość (37.30.*.*)

4 miesiące temu

Odpowiedź:

Wyobraź sobie sytuację, w której jedna, niewidoczna gołym okiem bakteria zaczyna się dzielić. Co sekundę z jednej komórki powstają dwie. Wydaje się to niewinne, prawda? W końcu sekunda to tak krótko, a pojedyncza bakteria jest mikroskopijna. Jednak prawa matematyki, a dokładniej wzrostu wykładniczego, potrafią całkowicie zaskoczyć ludzką intuicję. Przekonajmy się, jak gigantyczną liczbę bakterii otrzymalibyśmy po zaledwie jednej godzinie i dlaczego podwojenie stawki na starcie zmienia sytuację o... mgnienie oka.

Matematyka ukryta w podziale komórkowym

Aby zrozumieć skalę tego zjawiska, musimy przełożyć biologiczny podział bakterii na język matematyki. Mamy tu do czynienia z klasycznym ciągiem geometrycznym (lub funkcją wykładniczą), gdzie każdy kolejny krok podwaja liczbę organizmów.

Wzór na liczbę bakterii po określonym czasie wygląda następująco:

~| N(t) = N_0 \cdot 2^t ~#|

Gdzie:

~$N(t)~#$ to końcowa liczba bakterii,
~$N_0~#$ to początkowa liczba bakterii (w naszym pierwszym przypadku wynosi ona ~$1~#$),
~$t~#$ to liczba cykli podziału (czyli liczba sekund).

Skoro interesuje nas czas jednej godziny, musimy najpierw przeliczyć godziny na sekundy:
1 godzina = 60 minut = 3600 sekund.

Nasze równanie przyjmuje więc postać:

~| N(3600) = 1 \cdot 2^{3600} ~#|

Jak ogromna jest to liczba?

Liczba ~$2^{3600}~#$ jest tak gigantyczna, że ludzki umysł nie jest w stanie jej w pełni zwizualizować. Zapisana w systemie dziesiętnym wygląda w przybliżeniu tak:

~| 2^{3600} \approx 5,1 \times 10^{1083} ~#|

Oznacza to cyfrę 5 z ponad tysiącem zer na końcu! Dla porównania:

Szacuje się, że liczba wszystkich atomów w obserwowalnym wszechświecie wynosi „zaledwie” około ~$10^{80}~#$.
Nasza kolonia bakterii po godzinie wielokrotnie przewyższyłaby masę i objętość całego znanego nam wszechświata. Oczywiście w świecie rzeczywistym taki wzrost jest niemożliwy z powodu ograniczonej ilości pożywienia i przestrzeni, ale czysta matematyka pokazuje potęgę wzrostu wykładniczego.

Co się stanie, gdy wystartujemy z dwoma bakteriami?

Drugie pytanie brzmi: jak szybko otrzymalibyśmy dokładnie taką samą liczbę bakterii (~$2^{3600}~#$), gdybyśmy na samym początku mieli dwie bakterie zamiast jednej?

Intuicja mogłaby podpowiadać, że skoro zaczynamy z dwukrotnie większą liczbą bakterii, to czas skróci się o połowę (czyli do 30 minut). Nic bardziej mylnego! Wzrost wykładniczy rządzi się zupełnie innymi prawami.

Rozpiszmy to matematycznie. Nasza początkowa liczba bakterii (~$N_0~#$) wynosi teraz ~$2~#$. Chcemy dowiedzieć się, po jakim czasie (~$t~#$) osiągniemy wynik ~$2^{3600}~#$.

Stosujemy ten sam wzór:

~| N(t) = N_0 \cdot 2^t ~#|
~| 2^{3600} = 2 \cdot 2^t ~#|

Ponieważ ~$2~#$ to to samo co ~$2^1~#$, możemy zapisać prawą stronę równania jako:

~| 2^{3600} = 2^{t+1} ~#|

Teraz wystarczy porównać wykładniki:

~| 3600 = t + 1 ~#|
~| t = 3599 \text{ sekund} ~#|

Zaskakujący wniosek

Gdybyśmy na początku mieli dwie bakterie zamiast jednej, tę samą astronomiczną liczbę osiągnęlibyśmy po 3599 sekundach, czyli w czasie 59 minut i 59 sekund.

To zaledwie o jedną sekundę szybciej!

Dlaczego tak się dzieje? To bardzo proste: startując z dwoma bakteriami, pomijamy po prostu pierwszy krok (pierwszy podział), który normalnie zajmuje pojedynczej bakterii dokładnie jedną sekundę. Od sekundy numer jeden sytuacja w obu przypadkach wygląda już identycznie.

Dlaczego nasz mózg daje się na to nabrać?

Ludzki mózg ewolucyjnie przystosował się do myślenia liniowego. Łatwo nam oszacować, że jeśli idziemy stałym tempem, to w dwie godziny przejdziemy dwa razy dłuższy dystans niż w godzinę. Przy wzroście wykładniczym ta intuicja całkowicie zawodzi.

Świetnie obrazuje to inna popularna zagadka:

Staw zarasta rzęsą wodną, która codziennie podwaja swoją powierzchnię. Jeśli całkowite zarośnięcie stawu zajmuje 48 dni, to kiedy staw był zarośnięty w połowie?

Większość osób podświadomie chce odpowiedzieć, że po 24 dniach. Prawidłowa odpowiedź to oczywiście 47. dnia – na jeden dzień przed pełnym zarośnięciem. Dokładnie tę samą zasadę zaobserwowaliśmy w zadaniu z bakteriami. Każda sekunda w końcowej fazie generuje liczby, które przekraczają sumę wszystkich poprzednich etapów razem wziętych!

Jakie masz pytanie?