Wyobraź sobie sytuację, w której jedna, niewidoczna gołym okiem bakteria zaczyna się dzielić. Co sekundę z jednej komórki powstają dwie. Wydaje się to niewinne, prawda? W końcu sekunda to tak krótko, a pojedyncza bakteria jest mikroskopijna. Jednak prawa matematyki, a dokładniej wzrostu wykładniczego, potrafią całkowicie zaskoczyć ludzką intuicję. Przekonajmy się, jak gigantyczną liczbę bakterii otrzymalibyśmy po zaledwie jednej godzinie i dlaczego podwojenie stawki na starcie zmienia sytuację o... mgnienie oka.

Matematyka ukryta w podziale komórkowym

Aby zrozumieć skalę tego zjawiska, musimy przełożyć biologiczny podział bakterii na język matematyki. Mamy tu do czynienia z klasycznym ciągiem geometrycznym (lub funkcją wykładniczą), gdzie każdy kolejny krok podwaja liczbę organizmów.

Wzór na liczbę bakterii po określonym czasie wygląda następująco:

$$N(t) = N_0 \cdot 2^t$$

Gdzie:

• $N(t)$ to końcowa liczba bakterii,
• $N_0$ to początkowa liczba bakterii (w naszym pierwszym przypadku wynosi ona $1$),
• $t$ to liczba cykli podziału (czyli liczba sekund).

Skoro interesuje nas czas jednej godziny, musimy najpierw przeliczyć godziny na sekundy:
1 godzina = 60 minut = 3600 sekund.

Nasze równanie przyjmuje więc postać:

$$N(3600) = 1 \cdot 2^{3600}$$

Jak ogromna jest to liczba?

Liczba $2^{3600}$ jest tak gigantyczna, że ludzki umysł nie jest w stanie jej w pełni zwizualizować. Zapisana w systemie dziesiętnym wygląda w przybliżeniu tak:

$$2^{3600} \approx 5,1 \times 10^{1083}$$

Oznacza to cyfrę 5 z ponad tysiącem zer na końcu! Dla porównania:

• Szacuje się, że liczba wszystkich atomów w obserwowalnym wszechświecie wynosi „zaledwie” około $10^{80}$.
• Nasza kolonia bakterii po godzinie wielokrotnie przewyższyłaby masę i objętość całego znanego nam wszechświata. Oczywiście w świecie rzeczywistym taki wzrost jest niemożliwy z powodu ograniczonej ilości pożywienia i przestrzeni, ale czysta matematyka pokazuje potęgę wzrostu wykładniczego.

Co się stanie, gdy wystartujemy z dwoma bakteriami?

Drugie pytanie brzmi: jak szybko otrzymalibyśmy dokładnie taką samą liczbę bakterii ($2^{3600}$), gdybyśmy na samym początku mieli dwie bakterie zamiast jednej?

Intuicja mogłaby podpowiadać, że skoro zaczynamy z dwukrotnie większą liczbą bakterii, to czas skróci się o połowę (czyli do 30 minut). Nic bardziej mylnego! Wzrost wykładniczy rządzi się zupełnie innymi prawami.

Rozpiszmy to matematycznie. Nasza początkowa liczba bakterii ($N_0$) wynosi teraz $2$. Chcemy dowiedzieć się, po jakim czasie ($t$) osiągniemy wynik $2^{3600}$.

Stosujemy ten sam wzór:

$$N(t) = N_0 \cdot 2^t$$
$$2^{3600} = 2 \cdot 2^t$$

Ponieważ $2$ to to samo co $2^1$, możemy zapisać prawą stronę równania jako:

$$2^{3600} = 2^{t+1}$$

Teraz wystarczy porównać wykładniki:

$$3600 = t + 1$$
$$t = 3599 \text{ sekund}$$

Zaskakujący wniosek

Gdybyśmy na początku mieli dwie bakterie zamiast jednej, tę samą astronomiczną liczbę osiągnęlibyśmy po 3599 sekundach, czyli w czasie 59 minut i 59 sekund.

To zaledwie o jedną sekundę szybciej!

Dlaczego tak się dzieje? To bardzo proste: startując z dwoma bakteriami, pomijamy po prostu pierwszy krok (pierwszy podział), który normalnie zajmuje pojedynczej bakterii dokładnie jedną sekundę. Od sekundy numer jeden sytuacja w obu przypadkach wygląda już identycznie.

Dlaczego nasz mózg daje się na to nabrać?

Ludzki mózg ewolucyjnie przystosował się do myślenia liniowego. Łatwo nam oszacować, że jeśli idziemy stałym tempem, to w dwie godziny przejdziemy dwa razy dłuższy dystans niż w godzinę. Przy wzroście wykładniczym ta intuicja całkowicie zawodzi.

Świetnie obrazuje to inna popularna zagadka:

Staw zarasta rzęsą wodną, która codziennie podwaja swoją powierzchnię. Jeśli całkowite zarośnięcie stawu zajmuje 48 dni, to kiedy staw był zarośnięty w połowie?

Większość osób podświadomie chce odpowiedzieć, że po 24 dniach. Prawidłowa odpowiedź to oczywiście 47. dnia – na jeden dzień przed pełnym zarośnięciem. Dokładnie tę samą zasadę zaobserwowaliśmy w zadaniu z bakteriami. Każda sekunda w końcowej fazie generuje liczby, które przekraczają sumę wszystkich poprzednich etapów razem wziętych!